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引用 引用 十二类“鸡兔同笼”题的解析与练习    

2014-03-11 21:01:11|  分类: 作业练习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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十二类“鸡兔同笼”题的解析与练习

河南省太康县城关镇建南小学(461400) 师亚军

一、已知头数和与足数和的鸡兔问题

问题:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?

解析一:假设这35只都是鸡(也可以假设都是兔),那么有脚2×35=70(只)。而实际有脚94只,比假设多94-70=24(只)。这需要把一些鸡换成兔,而把一只鸡换成一只兔就会增加4-2=2(只)脚。因此得出:把鸡换成兔的只数是24÷2=12(只),即兔有12只。那么鸡有35-12=23(只)。

解析二:假设鸡有10只(这是任意假设,也可以任意假设兔的只数),那么兔有35-10=25(只),鸡兔一共有脚2×10+4×25=120(只),而实际有脚94只,比假设少120-94=26(只)。这需要把一些兔换成鸡,而把一只兔换成一只鸡就会减少4-2=2(只)脚。因此得出:把兔换成鸡的只数是26÷2=13(只),即兔有25-13=12(只),那么鸡有35-12=21(只)。

解析三:假设这94只脚都是鸡脚(也可以假设都是兔脚),那么有头94÷2=47(个)。把兔脚当作鸡脚,就会把兔的只数扩大4÷2=2倍,即增加1倍。因此得出兔有47-35=12(只),而鸡有35-12=23(只)

解析四:假设鸡脚有70只(这是任意假设,也可以任意假设兔脚数),那么兔脚有94-70=24(只),而头一共有70÷2+24÷4=41(个),比实际多41-35=6(个)头。这说明有些兔脚当作鸡脚了,而把兔足看成鸡足,兔的只数(头数)就会增加(4÷2-1)倍。因此把兔看作鸡的只数是6÷(4÷2-1)=6(只),那么兔实际有24÷4+6=12(只),鸡实际有35-12=23(只)。

    评注:此题也可以利用平均数“移多补少”的思想解答,也可以用“盈不足术”或代数法解答。至于“砍足法”、“金鸡独立法”或者“算翅膀法”都是三种解析法的变形,只不过叙述方法不同罢了。

练习:有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只?

二、已知头数和与足数差的鸡兔问题

问题:鸡兔同笼,它们一共有100只,而鸡足比兔足多80只。鸡兔各有多少只?

解析一:假设100只都是鸡(也可以假设都是兔),鸡足比兔足多2×100=200(只)。而实际鸡足比兔足多80只,这个差多了200-80=120(只)。这需要把一些鸡换成兔,而把一只鸡换成一只兔,鸡足减少2只,兔足增加4只,鸡足与兔足的差就会减少4+2=6(只)。因此得出:把鸡换成兔的只数是120÷6=20(只),即兔有20只,那么鸡有100-20=80(只)。

解析二:假设减少80只鸡足(也可以假设增加80只兔足),即减少80÷2=40(只)鸡,那么鸡足数等于兔足数,而鸡兔一共有100-40=60(只)。由“鸡足数等于兔足数”得出:鸡的只数是兔的4÷2=2倍。根据和倍问题的解法:兔有60÷(2+1)=20(只),那么鸡有100-20=80(只)。

练习:鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只?

三、已知头数和与足数倍的鸡兔问题

问题:鸡兔同笼,它们一共有84只,而鸡足是兔足的3倍。鸡兔各有多少只?

解析一:如果把4只兔足与4×3只鸡足分作一组,那么恰好分作若干组。即1只兔与(4×3÷2)只鸡分作一组。鸡兔84只一共分作:84÷(1+4×3÷2)=12(组),因此兔有1×12=12(只),而鸡则有4×3÷2×12=72(只)。

解析二:由“鸡足是兔足的3倍”可知:鸡的只数是兔的3×(4÷2)=6倍。根据和倍问题的解法:兔有84÷(6+1)=12(只),那么鸡有84-12=72(只)。

解析三:假设84只都是兔(也可假设都是鸡),那么一共有足4×84=336(只)。这样兔的足数不变,而鸡的足数扩大4÷2=2倍,即鸡足是兔足的3×2=6倍。就是说336只是兔足的(6+1)倍。那么兔足是336÷(6+1)=48(只),那么兔有48÷4=12(只),鸡则有84-12=72(只)。

练习:鸡兔同笼,它们一共有100只,而兔足是鸡足的3倍。鸡兔各有多少只?

四、已知头数差与足数和的鸡兔问题

问题:鸡兔同笼,鸡比兔多26只,它们一共有274只足。鸡兔各有多少只?

解析一:假设减少26只鸡(也可以假设增加26只兔),鸡与兔只数相等,一共有足274-2×26=222(只)。一只兔与一只鸡有足4+2=6(只),因此兔有222÷6=37(只),而鸡则有37+26=63(只)

解析二:假设274只都是鸡足(也可假设都是兔足),那么一共是274÷2=137(只)。这样兔的只数扩大4÷2=2倍,即(137-26)只就是兔只数的(2+1)倍。故知兔有(137-26)÷(2+1)=37(只),那么鸡有37+26=63(只)。

解析三:假设兔有0只,那么鸡有26只,它们一共有足2×26=52(只),比实际少274-52=222(只)足。每增加1只兔,就要增加1只鸡,足就要增加4+2=6(只)。要增加222只足,就要增加222÷6=37(只)兔。即兔有37只,那么鸡有37+26=63(只)。

练习:鸡兔同笼,兔比鸡多6只,它们一共有144只足。鸡兔各有多少只?

五、已知头数差与足数差的鸡兔问题

问题:鸡兔同笼,鸡比兔多3只,兔比鸡多28只足。鸡兔各有多少只?

解析一:假设减少3只鸡(也可假设增加3只兔),那么鸡与兔的只数相等,而兔足比鸡足多28+2×3=34(只)。因为1只兔比1只鸡多4-2=2(只)足,所以兔有34÷2=17(只)。鸡则有17+3=20(只)。

解析二:假设增加28只鸡足(也可假设减少28只兔足),那么兔足与鸡足相等,而鸡比兔多3+28÷2=17(只)。由“兔足与鸡足相等”可知:鸡的只数是兔的4÷2=2倍,根据差倍问题的解法:兔有17÷(2-1)=17(只)。鸡则有17+3=20(只)。

解析三:假设兔有0只,那么鸡有3只,兔足比鸡足少2×3=6(只),实际“兔比鸡多28只足”,两者相差6+28=34(只)。每增加1只兔,就要增加1只鸡,兔足与鸡足差就会增加4-2=2(只)。因此需要增加34÷2=17(只)兔,即兔有17只,而鸡有17+3=20(只)。

练习:鸡兔同笼,鸡比兔少3只,兔比鸡多126只足。鸡兔各有多少只?

六、已知头数差与足数倍的鸡兔问题

问题:鸡兔同笼,鸡比兔少10只,兔足是鸡足的3倍。鸡兔各有多少只?

解析一:假设减少10只兔(也可假设增加10只鸡),那么鸡兔只数相等,而兔足比鸡足的3倍少(4×10)只。由“鸡兔只数相等”可知兔足是鸡足的2倍,因此(4×10)只是鸡足的(3-2)倍。故知:鸡足是(4×10)÷(3-2)=40(只),而鸡有40÷2=20(只),兔则有20+10=30(只)。

解析二:因为“兔足是鸡足的3倍”,所以,兔的只数是鸡的(2×3÷4)倍。根据差倍问题的解法:鸡有10÷(2×3÷4-1)=20(只)。而兔则有20+10=30(只)。

注:此题也可将“4只鸡足与4×3只兔足”分作1组,即“2只鸡与3只兔”分1组。因为每组鸡比兔少3-2=1(只),所以可以得出一共10组。

练习:鸡兔同笼,鸡比兔多30只,鸡足是兔足的2倍。鸡兔各有多少只?

七、已知头数倍与足数和的鸡兔问题

问题:鸡兔同笼,鸡的只数是兔的3倍,它们一共有120只足。鸡兔各有多少只?

解析一:因为“鸡的只数是兔的3倍”,所以,如果把“1只兔与3只鸡”分作1组,那么正好分完。而每组中,鸡足与兔足一共是(2×3+4×1)只。因此分作了120÷(2×3+4×1)=12(组)。故知:兔有1×12=12(只),鸡有12×3=36(只)。

解析二:因为“鸡的只数是兔的3倍”,所以,鸡足是兔足的(2×3÷4)倍。根据和倍问题的解法:兔足有120÷(2×3÷4+1)=48(只)。那么兔有48÷4=12(只),而鸡有12×3=36(只)。

练习:一笼中的鸡和兔共250条腿,已知鸡的只数是兔只数的3倍,问笼中共有多少只鸡?

八、已知头数倍与足数差的鸡兔问题

问题:鸡兔同笼,鸡的只数是兔的3倍,鸡足比兔足多120只。鸡兔各有多少只?

解析一:因为“鸡的只数是兔的3倍”,所以,如果把“1只兔与3只鸡”分作1组,那么正好分完。而每组中,鸡足比兔足多(2×3-4×1)只。因此分作了120÷(2×3-4×1)=60(组)。故知:兔有1×60=60(只),鸡有3×60=180(只)。

解析二:假设将鸡足减去120只,那么鸡足等于兔足,而鸡的只数比兔的3倍少(120÷2)只。由“鸡足等于兔足”可知:鸡的只数是兔的2倍。而(120÷2)只就是兔的(3-2)倍。那么兔有(120÷2)÷(3-2)=60(只),鸡有3×60=180(只)。

评注:此题也可将头数倍转化为足数倍解题,也可假设增加兔足120只解题。

练习:鸡兔同笼,鸡的只数是兔的6倍,鸡足比兔足多240只。鸡兔各有多少只?

九、已知头数倍与足数倍的鸡兔问题

问题:鸡兔同笼,鸡比兔的3倍多6只,鸡足比兔足的2倍少24只。鸡兔各有多少只?

解析一:假设减少6只鸡,那么鸡是兔的3倍,而鸡足比兔足的2倍少(24+2×6)只。由“鸡是兔的3倍”可以得出:鸡足是兔足的(2×3÷4)倍。故知:(24+2×6)只是兔足的(2-2×3÷4)倍。因此,兔足有(24+2×6)÷(2-2×3÷4)=72(只),那么兔有72÷4=18(只),而鸡有18×3+6=60(只)。

解析二:假设增加24只鸡足,那么鸡足是兔足的2倍,鸡比兔的3倍多(6+24÷2)只。由“鸡足是兔足的2倍”可以得出:鸡是兔的(4×2÷2)倍。因此,(6+24÷2)只是兔的(4×2÷2-3)倍,那么兔有(6+24÷2)÷(4×2÷2-3)=18(只),而鸡有18×3+6=60(只)。

练习:鸡兔同笼,鸡比兔的3倍少4只,鸡足比兔足的2倍少44只。鸡兔各有多少只?

十、转化为头数差的鸡兔问题

问题:有鸡兔若干只,其中总足数比总头数的3倍多8,而鸡数的5倍比兔数的4倍少19只。问共有鸡兔多少只?

解析:鸡兔的总足数是鸡头数的2倍与兔头数的4倍之和,鸡兔总头数的3倍是鸡头数的3倍与兔头数的3倍之和。而两者之差是8,因此可以得出兔比鸡多8只(鸡比兔少8只)。由此得出:鸡数的5倍比兔数的5倍少8×5=40(只)。又知:鸡数的5倍比兔数的4倍少19只。故知:(40-19)只就是兔数的(5-4)倍,即兔有(40-19)÷(5-4)=21(只),那么鸡有21-8=13(只)。

练习:有鸡兔若干只,其中总足数比总头数的3倍10,而鸡数的3倍比兔数的4倍多12只。问共有鸡兔多少只?

十一、转化为头数和的鸡兔问题

问题:已知鸡兔若干,共有脚100只,若将鸡与兔的个数对调,则共有脚86只,原鸡、兔的个数各是多少。

解析:如果将对调前后的鸡兔放在一起,那么鸡与兔的个数相等,即它们都是原来鸡兔的个数和;而脚一共是(100+86)只。因为1只鸡与1只兔的脚是(2+4)只,所以鸡兔原来一共有(100+86)÷(2+4)=31(只)。而这31只鸡兔的脚一共是100只,运用假设法可以求出:鸡原来有(4×31-100)÷(4-2)=14(只),那么兔原来有31-14=17(只)

练习:鸡兔若干,共有脚46只,若将鸡与兔的数目互换,则脚变成38只,那么原来有鸡兔共多少只?

十二、足数与头数相差的鸡兔问题

问题:鸡足数比兔头数多21,兔足数比鸡头数多21。求鸡兔各多少只。

解析一:鸡的足数是头数的2倍,兔的足数是头数的4倍。“鸡足数比兔头数多21,兔足数比鸡头数多21”可以转化为:鸡头数的2倍比兔头数多21,兔头数的4倍比鸡头数多21。我们以“鸡的头数(只数)”为1份,那么兔的头数是2份少21,而兔的足数就是2×4份少21×4。又知:兔足数比鸡头数(1份)多21。根据盈亏问题的思路可知:(21+21×4)就是(2×4-1)份。因此鸡的只数是:(21+21×4)÷(2×4-1)=15(只),兔的只数则是2×15-21=9(只)。

解析二:假设鸡头数增加21(也可假设头头数增加21),那么鸡足数比兔头数多21+2×21=63,兔足数等于鸡头数。由“兔足数等于鸡头数”知:鸡头数是兔头数的4倍,进而知:鸡足数是兔头数的4×2=8倍。根据差倍问题的解法:兔有63÷(8-1)=9(只),而鸡有(9+21)÷2=15(只)。

练习:鸡足数比兔头数多10,兔足数比鸡头数多100。求鸡兔各多少只。

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